Teorema de Binet

Nas operações entre matrizes, sabemos que a multiplicação de matrizes é um processo longo e trabalhoso. Sendo assim, conheceremos hoje um teorema que evita ter que encontrar a matriz-produto para calcular o seu determinante, e no qual se pode usar o determinante de cada matriz em separado.

Para isso, enunciaremos o teorema de Binet e veremos como ocorre a sua aplicação no cálculo de determinantes.

“Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz-produto, dessa forma, temos que det(AB)=(det A).(det B).”

Ou seja, ao invés de encontrar a matriz-produto e depois calcular seu determinante, é possível calcular o determinante de cada matriz e multiplicá-los.

Vejamos um exemplo para compreendermos o quão árduo seria o trabalho se não existisse o teorema de Binet.

Exemplo 1:

Caso não tivéssemos o teorema de Binet, deveríamos fazer o seguinte processo para calcular o det (A.B).

1. Encontrar a matriz-produto (A.B).

2. Calcular o determinante da matriz-produto.

Se você não tivesse uma calculadora para fazer essas multiplicações com números grandes, seria complicado, não é?

Veja o cálculo do mesmo determinante, porém utilizando o teorema de Binet.

Primeiro vamos encontrar o determinante de cada matriz, separadamente:

Como vimos, pelo teorema de Binet, det(AB)=(det A).(det B):

Exemplo 2:

Faremos novamente os cálculos utilizando os dois procedimentos:

Trata-se realmente de um processo bem mais fácil e prático em relação ao anterior, afinal poupa o trabalho de ter que encontrar a matriz-produto, que é um processo longo e trabalhoso. Além disso, o determinante da matriz-produto, na maioria das vezes, tem produto de números grandes, o que ocasiona um trabalhoso cálculo de multiplicação e adição de vários números.

 

Por Gabriel Alessandro de Oliveira

Graduado em Matemática

Equipe Brasil Escola