Observe a seqüência abaixo:
( 2, 5, 8, 11, ...)
Notemos que a diferença entre um termo qualquer dessa seqüência e seu antecedente é sempre igual a 3:
5 – 2 = 3
8 – 5 = 3
11 – 8 = 3
Assim:
Progressão Aritmética (P.A) é uma seqüência de números reais em que a diferença entre um termo qualquer ( a partir do segundo) e o tremo antecedente é sempre a mesma (constante).
Essa constante é chamada de razão da P.A representada por r.
Exemplos:
• (-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, ...) é P.A de razão r = 2.
• (23, 20, 17, 14,...) é P.A de razão r = -3.
• (5, 5, 5, 5,...) é P.A de razão r = 0.
A razão tem algumas particularidades como:
• r > 0, dizemos que a P.A é crescente
•r < 0, dizemos que a P.A é decrescente
• r = 0, todos os termos da P.A são iguais, ou seja, a P.A é constante.
TERMO GERAL DA P.A.
Considerando a P.A (a1, a2, a3, a4, ...., an) de razão r. Temos:
• a2 - a1 = r → a2 = a1 + r
• a3 - a2 = r → a3 = a2 + r → a3 = a1 + 2r
• a4 – a3 = r → a4 = a3 + r → a4 = a1 + 3r
. . .
. . .
. . .
Assim: an = a1 + ( n – 1) . r
Essa fórmula acima é conhecida como a fórmula do termos geral de uma P.A.
Exemplo:
Vamos calcular o 20º termo da P.A (26, 31, 36, 41, ...):
Para efetuarmos os calulos é necessário que retiremos os dados necessários.
Como: a1 = 26 e r = 31 – 26 = 5
Utilizando a fórmula do termo geral caculemos o 20º termo da P.A.
a20 = 26 + ( 20 – 1) . 5
a20 = 26 + 19 . 5
a20 = 26 + 95
a20 = 121
Conclimos que o 20º termo dessa P.A é 121.
NOTAÇÕES ESPECIAIS
Para determinar uma P.A apartir de seus elementos utilizamos de algumas notações que facilitam a resolução de alguns exercícios.
• Para três termos em P.A, podemos escrever:
( x – r , x , x + r )
• Para cinco termos em P.A, podemos escrever:
(x – 2r , x – r , x , x + r , x – 2r )
Exemplo:
Determine três números em P.A, sabendo que o elemento central é 4 e o produto entre eles é 28.
Para efetuarmos os calculos é necessário que retiremos os dados:
Como a P.A tem 3 termos ( x – r , x , x + r ) e x = 4
(x – r) . x . (x + r) = 28.
Então:
(4 – r) . 4 . (4 + r) = 28
r = +3 e r = -3
Assim iremos obter duas P.A
Para r = +3 a P.A será ( 1, 4, 7)
Para r = -3 a P.A será ( 7, 4, 1)
SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A
A fórmula que nos permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma P.A qualquer é preciso:
Considere a P.A (a1, a2, a3, ..., an - 2, an – 1 , ... , an, … ) Indiquemos a soma dos n primeiros termos por Sn. Temos então:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an – 2 + an - 1 + an ou
Sn = an + an - 1 + an - 2 + ... +a3 + a2 + a1
Somando essas igualdades membro a membro, obtemos:
Fonte:
Por: Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola
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